Məlumat

Mutasyonlar üçün Bayes teoremi


MEN 2A RET proto-onkogenində mutasiya nəticəsində yaranan dominant irsi xəstəlikdir. RET proto-onkogeninin mutasiyasına malik olduğunuz zaman xəstə olma ehtimalı yaşa görə dəyişir və 40 yaşında 40% olduğu qəbul edilir.

Otosomal dominant irsi xəstəliklərdə bu düsturdan istifadə edilə bilər, burada p penetrasiyanı göstərir və D xəstə alleldir:

P(II-nin sağlam olduğunu nəzərə alaraq D-ni miras alır) = $frac{1-p}{2-p}$

Ağacdakı III1 oğlunun əmisi xəstədir, ona görə də onun I1 və ya I2-dən gəldiyini güman edir. II2 oğlunun atası 40 yaşındadır, simptomları yoxdur.

Atanın mutasiya olma ehtimalı nədir?

Birinci sualda %-i bilən oğlunun mutasiyaya malik olma ehtimalı nədir?

Mən sadəcə yuxarıdakı düsturdan birinci sual üçün istifadə etdim: $$frac{1-0,4}{2-0,4} = 37,5\%$$

Baxmayaraq ki, ikinci ilə problem yaşayıram və Bayes düsturundan istifadə etməyi düşünürəm.

Mən belə cəhd etdim:

$$P( ext{son mut give at dad mut}) = frac{P( ext{Ata mut oğlu mut}) cdot P( ext{son mut)}}{P( ext{Dad mut) })}$$

Bilirəm ki, atanın mutasiya olma ehtimalı 37,5%, atanın isə oğlunun mutasiya olması ehtimalı 100% təşkil edir. Ancaq deyəsən, oğlunun mutasiya olma ehtimalına nə qoyacağımı bilmirəm? Hər hansı bir yardım qiymətləndirildi, təşəkkürlər! Uzun suala görə üzr istəyirik.


Mən sizin hesablamalarınızı başa düşmürəm və niyə Bayes düsturundan istifadə etməyə çalışdığınızı anlamıram. Mən $frac{1-p}{2-p}$ düsturunu bilmirəm və onun nə hesablamalı olduğunu başa düşmürəm. Mənə elə gəlir ki, sən sadə bir məsələ üzərində çox fikirləşirsən.

Bütün məlumatımız yoxdur və bir çox fərziyyələr irəli sürməliyik, amma sualı düzgün başa düşsəm...

Atanın mutant alleli daşıması ehtimalı

Yeni mutasiyanın baş verməsi və oğulun nəsildə mutantın ilk daşıyıcısı olması ehtimalını laqeyd edirəm. Güman edirəm ki, xəstəliyi daşımasaq, xəstə olma ehtimalımız 0 olar. MEN olduqca pis xəstəlik olduğundan, xəstəliyə səbəb olan otosomal dominant allel, ehtimal ki, olduqca aşağı tezlikdə saxlanılır. Vikidən oxudum ki, MEN 2A-nın 1/40000 tezliyi var. Bu o deməkdir ki, homozigot mutant olma ehtimalı $left(frac{1}{40000} ight)^2 ≈ 10^{-9}$-dır. Düşünürəm ki, xəstə uşağın heterozigot olduğunu etibarlı şəkildə güman edə bilərik. Uşağın heterozigot olduğunu nəzərə alsaq, mutant allel ya anadan, ya da atadan eyni ehtimalla gəlir. Beləliklə, onun atadan gəlmə ehtimalı $0.5$ və ehtimallar $frac{p}{1-p}=frac{0.5}{1-0.5}=frac{0.5}{0.5}=1$-dır.

Atanın heterozigot olduğunu bilərək, verilmiş uşaqların bu mutantı qəbul etmə ehtimalı nədir?

Seqreqasiya qanununa görə, ehtimal 0,5, ehtimal isə 1-dir.


Şəbəkələr

Döş və yumurtalıq xərçəngləri nadir hallarda baş verə bilən, lakin nəsillər boyu təkrarlanan dəhşətli xəstəliklərdir. Döş və yumurtalıq xərçənginə yaxşı öyrənilmiş bir genetik meyl BRCA1 geninin mutasiyalarından qaynaqlanır. Tədqiqatçılar BRCA1 haqqında məlumatlardan istifadə edərək, ailədə döş və ya yumurtalıq xərçəngi olan bir insanın BRCA1 mutasiyasına malik olma ehtimalını təyin etdilər.

Bayes teoremi istənilən ehtimalı müəyyən etmək üçün çoxlu məlum ehtimal tələb edir. Məsələn, mutasiyanın nüfuzunu bilmək lazımdır. Bir mutasiya varsa, xərçəngə tutulma ehtimalı kimi nüfuzetmə sadələşdirilə bilər. Populyasiyada mutasiyanın tezliyi və BRCA1 mutasiyası ilə əlaqədar olmayan döş və ya yumurtalıq xərçənginə tutulma ehtimalı kimi digər ehtimallar da hesablanmışdır. Bu məlumatlardan istifadə edərək tədqiqatçılar Bayes teoremindən istifadə edərək bir insanın ailə tarixindən BRCA1 mutasiyasının ehtimalını proqnozlaşdıra bilən bir model yarada bildilər. Mutasiya ehtimalları ailə tarixinin nə qədər güclü olmasından asılı olaraq 100 faizdən 5 faizə qədər dəyişə bilər. Bu məlumatlar indi bir sıra proaktiv və səmərəliliyi artırmaq üçün istifadə edilə bilər.

Bu məlumatların bir nömrəli tətbiqi daha səmərəli genetik skrininqdir. Əgər mutasiya nadirdirsə (0,2-0,04%) bütün populyasiyanı skrininq etmək praktiki deyil, lakin daha yüksək ehtimala malik (5-100%) populyasiyanın alt çoxluğunu müəyyən etmək mümkün olarsa, test daha effektiv şəkildə həyata keçirilə bilər. Test etmək imkanı o deməkdir ki, xəstələr öz statuslarını bilsinlər və onları xəstəlikdən qorumaq üçün daha profilaktik və diaqnostik testlər planlaşdırıla. Məqalədə göstərildiyi kimi, bu metodun böyük bir hissəsi, uyğun dəyişənlər müəyyən edildikdən sonra istənilən mutasiyaya tətbiq oluna bilməsidir. Məsələn, BCRA2 mutasiyalarının süd vəzisi və yumurtalıq xərçənginə səbəb olduğu aşkar edilmişdir və mutasiyanın nüfuzetmə qabiliyyəti və ümumi tezliyi aşkar edildikdən sonra Bayes teoremindən istifadə etməklə müayinə praktiki ola bilər.


Şəbəkələr

Bayes teoremini idarə edən əsas konsepsiya, müşahidələr əsasında baş verən bir hadisənin mövcud ehtimalını dəyişdirə bilməsidir. Başqa sözlə, sizə bir hadisənin baş verəcəyi ehtimalı verilirsə və müəyyən müddətdən sonra bəzi parametrlər dəyişir. Daha sonra yeni parametrlər nəzərə alınmaqla həmin hadisənin baş verəcəyi ehtimalını proqnozlaşdıra bilərsiniz. John M. McNamara, Richard F. Green və Ola Olsson, məqalələrində Bayes teoremi və heyvanların davranışında tətbiqləri, heyvanların əvvəlki biliklərdən istifadə edib-etmədiyini görmək üçün Bayes teoreminin əsas ideyalarından istifadə edərək heyvanların davranışlarını təhlil etdilər. onların gündəlik həyatları. Bu məqalədə gündəmə gətirilən mühüm termin Statistik Nəticədir ki, bu da əvvəlki ehtimalı (bir hadisənin baş verməsinin ilkin ehtimalını) götürərək müşahidələr aparmaq və əvvəlki ehtimalı Bayes qanunu ilə dəyişdirmək və sonra hadisəyə əsaslanaraq nəticə çıxarmaqdır. yeni ehtimallardan kənar.
Heyvanların gündəlik həyatlarında əvvəlki biliklərdən istifadə etmələrinin iki əsas yolu var. Bu ikisindən birincisi uyğunlaşmadır. Vəziyyətlərə və ətrafa uyğunlaşma təkamüldən qaynaqlanır. Əgər növ öz mühitindəki dəyişikliklərə uyğunlaşmaq qabiliyyətinə malikdirsə, nəticədə təbii seçmə yolu ilə onun sağ qalması və bu xüsusiyyəti gələcək nəslə ötürməsi ehtimalı daha yüksəkdir. Öyrənilmiş bacarıqdan fərqli olaraq, bu xüsusiyyət anadangəlmədir və adətən yaradıcı özünü təkmilləşdirməyə yer qoymur. Məqalədə vurğulanır ki, bu davranışdan istifadə edən heyvanlar, proqnozlaşdırdıqları səhv çıxsa belə, bu hərəkəti etməyə davam edə bilər. Uyğunlaşma bir çox cəhətdən heyvanın öyrənmə qabiliyyətini məhdudlaşdırır. Təcrübə spektrin əks tərəfindədir və heyvanın ətraf mühitdən öyrənmək qabiliyyətindən asılıdır. Bunlar heyvanın keçmiş təcrübələrinə əsaslanaraq verdiyi qərarlardır. Bununla belə, ətraf mühit də heyvanın qərarlarına təsir etməkdə rol oynaya bilər.
Məqalədə heyvanların Bayes qaydasına nəzəri yanaşmadan istifadə edərək gələcək nəticələri proqnozlaşdırmaq üçün əvvəlki biliklərdən istifadə etdiyini nümayiş etdirən üç nümunə verilir. Birinci nümunə yemək üçün yem axtarışıdır. Bir heyvan müəyyən bir yamaqda yemək axtararkən, nə qədər tez-tez yeməklə qarşılaşdığını görəcək. Başqa yamağa keçərkən, heç bir yemək tapmadığı birinə bənzəyirsə, ona oxşar olan yamaqdan keçəcək. Bu misalda heyvanlar oxşar yamaqda axtarış aparsalar, onun nəticəsini proqnozlaşdırmaq üçün əvvəlki təcrübələrindən istifadə edirlər. İkinci nümunə, illik çoxalma mövsümündə həyat yoldaşı seçməkdir. Bu nümunədə dişilər erkək yoldaşını yoxlama yolu ilə seçirlər. Hər il, seçmək üçün yeni bir kişi qrupu var, buna görə də qadınlar mövsümün əvvəlində seçim diapazonunun nə olacağını bilmirlər. Bununla belə, onlar əvvəlki təcrübədən nə gözlədiklərini bilirlər. Son nümunə müəyyən yırtıcı riskləri olan bir mühitdə böyüməkdən bəhs edir. Əvvəlki ehtimal heyvanın əcdadlarının necə sağ qala bildiyidir. İndi mövcud heyvanın ətraf mühitə nə qədər uyğunlaşdığını və hazırkı heyvanın bacarıq dəstini, eləcə də yırtıcıların tezliyini nəzərə alaraq, mövcud vəziyyəti modelləşdirmək üçün əvvəlki ehtimal dəyişdirilə bilər. Bu üç nümunə Bayes teoreminin heyvan davranışını modelləşdirmək üçün necə istifadə oluna biləcəyini nümayiş etdirir.

Məqalənin adı: Bayes teoremi və onun heyvanların davranışında tətbiqi


Bayes teoremi və nəticə çıxarmaq

Proqnozlaşdırılan dəyərlər və tezliklər arasındakı sadə əlaqəni nəzərə alaraq, əgər yuxarıda göstərilənlərin vaxt itkisi olduğunu düşünürsünüzsə, gəlin bunun niyə belə olmaya biləcəyini izah etməyə çalışaq.

  • Bu testin 100% etibarlı olduğunu düşünürsünüzsə, edəcəksiniz nəticə çıxarmaq ki, nəticə nə olursa olsun, olacaqsınız bilmək yaxşısan ya yox.
  • Əlbəttə, o vaxtdan tamamilə heç bir test 100% etibarlı deyil, bu testin nəticəsi nə olursa olsun, növbəti sualınız olmalıdır bu nəticənin olma ehtimalı nə qədərdir

Qeyd edək ki, sizə yalnız cavab lazımdır bir o suallardan. Başqa sözlə, suallar şərti testinizin nəticəsi, onların cavabları kimi - fərz etsək ki, siz eyni vaxtda yoluxmuş və infeksiyasız ola bilməzsiniz və tək bir test həm müsbət, həm də mənfi olduğunuzu müəyyən edə bilməz.

Bu məsələlər vacibdir, çünki bu iki sualın cavabları çox fərqli ola bilər. Məsələn, göstərmək üçün aşağıda ölçü götürdük doğru infeksiya vəziyyəti və müşahidə olunur n nəticələrin test nəticələri burada 28.42% yoluxmuşdular, lakin 28.42% yoluxmuş olanların (səhv olaraq) mənfi tapıldı və 24.69% yoluxmayanlardan (səhv olaraq) müsbət tapıldı.

  • Əgər sınadınız müsbət , sizin yoluxmamağınız ehtimalı belədir b /a+b
  • Əgər sınadınız mənfi , yoluxma ehtimalınız belədir c /c+d

Bu sadə tənzimləmə praktikada nadir hallarda işləyir, çünki yoluxma dərəcəsi ( A+C /N) ümumi populyasiyadan təxmin edilir, testin həssaslığı ( a /a+c) və spesifiklik ( d /b+d) həmin əhalinin alt çoxluğundan istifadə etməklə qiymətləndirilir.

Bayes teoremi bu məlumatı nisbətlər və ya ehtimallar kimi birləşdirməyə, müəyyən bir səbəbin müəyyən bir nəticəyə görə cavabdeh olma ehtimalını tapmaq üçün imkan verir - n və N eyni olub-olmamasından asılı olmayaraq.

Bayesin nəticə çıxarması bu kursdakı digər nəticə çıxarma formalarının əksəriyyətindən – “standart səhvlər”, “etibar intervalları” və ya “hipoteza testləri” kimi – həqiqətən də, statistikanın bu nəhəng sahəsi çox vaxt tamamilə alternativ yanaşma hesab olunur. nəticəyə gəlmək üçün. Bu kurs klassik tez-tez statistikaya əsaslandığı üçün burada ən qısa konturdan başqa bir şey təqdim etməyə əsaslı şəkildə ümid edə bilmərik.

Özündə Bayes nəticəsi effektiv şəkildə Bayes teoreminin tətbiqidir. Bir çox cəhətdən bu, test əvəzinə istifadə etdiyiniz bir şeydən çox, testin nəticəsi ilə nə etdiyinizə aiddir. Bayesian nəticə sizə bir-birini istisna edən izahatlar toplusu arasında seçim etməyə və ya inancın kəmiyyətini müəyyən etməyə imkan verir. Bu teoremin cəbri “sübut”u ilə maraqlanmadığınızı fərz etsək, gəlin onun bəzi əsaslandırmalarını izah etməyə çalışaq və bir neçə faydalı termin təqdim edək.

  • Paket 1-də 199 əskinas var, onlardan 76-sı 100 dollarlıq əskinasdır.
  • Bundle 2-də 469 əskinas var, onlardan 4-ü 100 dollarlıq əskinasdır.
  • Paket 3-də 396 əskinas var, onlardan 44-ü 100 dollarlıq əskinasdır.
    Onları təkrarlamaq istəmədiyinizi fərz etsək, hansı paketdə belə bir qeyd yoxdur və biz bu qiymətləndirmənin kəmiyyətini müəyyən edə bilərik?
  1. Bu 3 paketdir yalnız həmin 100$-ın mümkün mənbəyi Bu fərziyyə mühümdür və sonrakılar üçün mərkəzidir – o, bütün mümkün nəticələrin “nümunə məkanını” müəyyən edir.
  2. Əvvəl bu hadisəyə görə, hər bir paketin itirmə ehtimalı eyni idi. Bu fərziyyə yuxarıdakı nümunəmizdə yoluxmuş ümumi nisbətlə eyni şəkildə nümunə məkanını bölməyə imkan verir.
  3. İstənilən not növü eyni dərəcədə qeyddən kənara çıxa bilərdi. verilmişdir hər bir mümkün izahat.
  • Əgər P(A|B) A müşahidəsinin ehtimalıdırsa verilmişdir B, a-dan 100$-lıq əskinasın itirilməsi ehtimalını asanlıqla təxmin edə bilərik verilmişdir bağlama. Deyək ki, bu, 100 dollarlıq əskinasın itirilmə ehtimalıdır və hər hansı başqa bir əskinasın itirilməsi ehtimalıdır.
    • 1-ci paketin 76/199-u 100$-lıq əskinaslardan ibarət olduğundan şərti bu hadisənin ehtimalı , 0,38 idi
    • 2-ci paketin 4/469-u 100$-lıq əskinaslardan ibarət idi ehtimal, , 0,01 idi
    • 3-cü paketin 44/396-sı 100$-lıq əskinaslar idi, ona görə də A=1 olma ehtimalı verilmişdir B=3 , və ya 0,11-dir
    • o şərtlə ki, not başqa yerdən gəlməyib, 1-ə bərabər olmalıdır və bu 3 paket üçün əvvəl ehtimallar (bərabər olmaqla) buna görə də = 1/3-dir.

    Bu qeydin müəyyən bir paketdən yaranma ehtimalı ondan asılıdır onların ümumi ehtimalını əsaslı şəkildə güman edə bilərik

    Bu halda 100$-lıq əskinasın həmin paketlərdən hər hansı birindən yaranma ehtimalı, , həmin birləşmiş ehtimalların cəmidir:

    Beləliklə, 100 dollarlıq əskinasın yarandığı hadisələrin nisbəti:

    • P(B= 1 verilmişdir A=1) = 0,7615
    • P(B= 2 verilmişdir A=1) = 0,0170
    • P(B= 3 verilmişdir A=1) = 0,2215

    Müxtəlif fərziyyələrin doğru olduğunu nəzərə alsaq, 100$-lıq qeydimiz yəqin ki, 1-ci paketdən gəlib - ən azı bu izahat (0.7615/0.2215=) 3.4-cü paketdən 3.4 dəfə çoxdur.

      Məsələn, siz qərar verə bilərsiniz ki, notun paketdən çıxma ehtimalı birbaşa həmin paketdəki qeydlərin sayı ilə bağlıdır.

      İçində birinci halda, əgər ni i-dəki qeydlərin sayıdırci bundle və &Sigman qeydlərin ümumi sayıdır, sonra isə əvvəl o qeydin i-dən yaranma ehtimalıci paket, P(B=i)-dir nmən /&Sigman

    • P(B= 1 verilmişdir A=1) = 0,6129
    • P(B= 2 verilmişdir A=1) = 0,0323
    • P(B= 3 verilmişdir A=1) = 0,3549

    Yenə də müxtəlif fərziyyələrin doğru olduğunu nəzərə alsaq, bizim 100$-lıq qeydimiz yəqin ki, 1-ci paketdən gəldi - lakin bu izahat 3-cü paketdən irəli gələndən yalnız (0,6129/0,3548=) 1,7 dəfə çoxdur.

    • P(B= 1 verilmişdir A=1) = 0,1153
    • P(B= 2 verilmişdir A=1) = 0,0631
    • P(B= 3 verilmişdir A=1) = 0,8217

    Diqqət yetirin ki, həmin qeyd paketlərini 1 2 və 3 etiketləsək də, onların eyniliyi əslində nominal dəyişəndir - lakin mümkün səbəblərimiz odds-nisbətləri (sinif intervallarına bölünür) kimi diskret dəyişən olsaydı, eyni əsaslandırma tətbiq oluna bilər. ) pankreas karsinomasına kemoterapinin təsirini təmsil edir. Bu vəziyyətdə biz müxtəlif təkliflər verə bilərdik əvvəl ya ixtiyari, ya da əvvəlki tədqiqatları yekunlaşdıran və ya fərziyyəni təmsil edən ehtimal paylamaları - istər pessimist, istərsə də optimist.

    Bu, çox cazibədar olsa da, subyektiv və obyektiv ehtimalları birləşdirmək üçün Bayes fikrindən istifadə etmək aydın risklərə malikdir və bəzi statistikləri başa düşülən şəkildə əsəbiləşdirir. Potensial səbəb sıfır olduqda əvvəl, onun arxa həm də sıfırdır - açıq-aydın mümkün olmayan nəticələri fərz etsək


    Mutasyonlar üçün Bayes teoremi - Biologiya

    Tutaq ki, müəyyən bir qadağan olunmuş dərmanın varlığını aşkar etmək üçün istifadə edilən qan testi 99% həssas99% spesifik. Yəni test 99% istehsal edəcək əsl müsbət narkotik istifadəçiləri üçün nəticələr və 99% əsl mənfi narkotik istifadəçiləri olmayanlar üçün nəticələr. Fərz edək ki 0.5% insanların çoxu narkotikdən istifadə edir. Nədir ehtimal ki təsadüfi seçilmiş fərd istifadəçi testləri müsbətdir?

    Fərdi testlər müsbət çıxsa belə, onun etmə ehtimalı yoxdan daha yüksəkdir (1 - 33,2% = 66,8%) yox dərman istifadə edin. Niyə? Test çox dəqiq görünsə də, qeyri-istifadəçilərin sayıdır çox böyük istifadəçilərin sayı ilə müqayisədə. Sonra, sayı yalan pozitivlər sayından çox olacaq əsl müsbətlər.

    Bunu faktiki rəqəmlərlə görmək üçün 1000 fərd sınaqdan keçirilərsə, 995 qeyri-istifadəçi və 5 istifadəçi gözləyirik. 995 qeyri-istifadəçi arasında, 0,01 × 995 ≃ 10 yanlış müsbət gözlənilir. 5 istifadəçi arasında, 0,99 × 5 ≈ 5 həqiqi müsbət gözlənilir. 15 müsbət nəticədən yalnız 5-i,

    -nin əhəmiyyəti spesifiklik bu misalda olsa belə hesablanaraq görünə bilər həssaslıq 100%-ə qədər təkmilləşdirilir, lakin spesifiklik 99%-də qalır, sonra Testi müsbət çıxan şəxsin narkotik istifadəçisi olması ehtimalı yalnız 33,2%-dən 33,4%-ə yüksəlir.. Alternativ olaraq, əgər həssaslıq 99% qalır, lakin spesifiklik 99,5%-ə qədər yaxşılaşır, sonra isə Testi müsbət çıxan şəxsin narkotik istifadəçisi olma ehtimalı təxminən 49,9%-ə yüksəlir.


    Qronuvold, Endryu D. Milli Ekspozisiya Tədqiqat Laboratoriyası, ABŞ Ətraf Mühitin Mühafizəsi Agentliyi Tədqiqat Üçbucaq Parkı, Şimali Karolina.

    Vallero, Daniel A. Milli Ekspozisiya Tədqiqat Laboratoriyası, ABŞ Ətraf Mühitin Mühafizəsi Agentliyi, Tədqiqat Üçbucağı Parkı, Şimali Karolina.

    Ekosistemlər mahiyyətcə mürəkkəbdir və ekosistem pozuntularını ekosistemin reaksiyası ilə əlaqələndirən səbəb-nəticə zəncirlərinin müəyyən edilməsi və modelləşdirilməsi səylərinə baxmayaraq, təbii mühitdə müşahidə edilən və proqnozlaşdırılan şərtlər arasında qaçılmaz uyğunsuzluqlar mövcuddur. Qeyri-müəyyənlik, dəyişkənlik və dəyişiklik hamısı bu fərqlərə kömək edir, lakin ekoloji problemlərin proqnozlaşdırılmasında çox vaxt bunlar nəzərə alınmır. Statistik modelləşdirmə üsulları proqnozlar və müşahidələr arasındakı uyğunsuzluqları aradan qaldırmağa kömək edə biləcək vasitələrin ümumi təsnifatını təmsil edir və xüsusilə Bayes statistikasının qeyri-müəyyənliyin və dəyişkənliyin kəmiyyətinin müəyyən edilməsinə unikal yanaşmasına görə bu yaxınlarda ətraf mühiti çirkləndirici problemlərin proqnozlaşdırılması üçün yeni və effektiv alət olduğu nümayiş etdirilmişdir. .

    Bayes statistikası

    1763-cü ildə Möhtərəm Tomas Bayesin "Şanslar doktrinasında problemin həllinə dair esse" nəşr olundu. London Kral Cəmiyyətinin Fəlsəfi Əməliyyatları. 200 ildən çox keçəndən sonra bu essenin əsas elementləri, o cümlədən adətən Bayes teoremi olaraq adlandırılan ehtimal əlaqəsinin tətbiqi (bu məqalədə daha sonra ətraflı təsvir edilir) möhkəm riyazi hesablamalar sinfi olan Bayes statistik analizinin əsasını təşkil edir. tərs ehtimal məsələlərinin həllinə yanaşmalar.

    Statistik problemlərin həlli üçün ümumi strategiyaları üç kateqoriyaya bölmək olar, bunların hər biri bütün mümkün hadisələr toplusuna nisbətən hadisənin baş vermə ehtimalının kəmiyyətini müəyyən etmək üçün fərqli yanaşmanı əhatə edir. Birinci yanaşma a priori inanclardan istifadə kimi düşünülə bilər ki, bu da altı tərəfli zarın tək yuvarlanması halında zarın ədalətli olması gözləntisini əks etdirə bilər və buna görə də altı mümkün olan hər birinin ehtimalını əks etdirə bilər. nəticələr (yəni 1, 2, … , 6) tam olaraq 1/6-dır. İkinci yanaşma, hadisələrin əsas ehtimalı haqqında anlayışımızın tamamilə məlumatlara əsaslandığı empirik sübutlara əsaslanır. Altı tərəfli zərb halında, bu yanaşma qəlibin təkrar-təkrar yuvarlanmasını və hər bir nəticənin onun müşahidə olunan nisbi tezliyi kimi ehtimalını qiymətləndirməyi əhatə edə bilər. Ekoloji problemlərin həllində, təbii ki, bu yanaşma çox vaxt məhdud məlumatlar və digər mürəkkəbləşdirici amillər tərəfindən əngəllənir. Bayes statistikası, üçüncü yanaşma, posterior ehtimal paylanmasını əldə etmək üçün a priori inancları potensial olaraq seyrək empirik sübutlarla birləşdirən mexanizm təmin edir. Bu yanaşmanı Bayes teoremi kontekstində aşağıdakı bölmədə təsvir edirik.

    Bayes teoremi

    Bayes teoremi tənlik kimi yazıla bilər. (1),

    harada P(A) və P(B) hadisələrin marjinal ehtimallarını təmsil edir AB, müvafiq olaraq, isə P(A|B) və P(B|A) hadisənin şərti ehtimallarını təmsil edir A həmin hadisəni nəzərə alaraq B baş vermiş və hadisədir B həmin hadisəni nəzərə alaraq A müvafiq olaraq baş vermişdir. Ehtimal P(A|B), Bayes çərçivəsində hadisənin posterior ehtimalı kimi istinad edilir A, həmin hadisəni nəzərə alaraq B baş verib. Bu kontekstdə Bayes teoremi hadisənin posterior ehtimalını ifadə edir A (yəni hadisənin baş vermə ehtimalı A həmin hadisəni nəzərə alaraq B baş vermişdir) ehtimalına bərabərdir [yazılır P(B|A)] dəfə hadisənin əvvəlki ehtimal paylanması A [yəni, P(A)], hadisənin marjinal paylanmasına bölünür B. Beləliklə, əvvəlki ehtimal paylanması, ehtimal və sonrakı ehtimal paylanması Bayes statistik probleminin çərçivəsini təmin edir və zəruri elementlər kimi xidmət edir.

    Bayes teoreminin tətbiqi

    Daha praktiki dildə desək, Bayes teoremi elm adamlarına hadisənin (yaxud ətraf mühitin vəziyyətinin və ya başqa bir metrikanın) ehtimalı ilə bağlı aprior inancları empirik (yəni müşahidəyə əsaslanan) sübutlarla birləşdirməyə imkan verir ki, nəticədə yeni və daha möhkəm posterior ehtimal paylanması.

    Çirkləndiricilərin təmizlənməsi infrastrukturunun performansını başa düşmək

    Şəkil 1 ekoloji problemləri həll etmək üçün Bayes teoreminin necə tətbiq oluna biləcəyinə dair bir nümunə təqdim edir. Bu fərziyyə nümunəsində biz fırtına suyunun idarə olunması infrastruktur sistemlərinin çöküntüləri fırtına suyu axınından çıxarmaqda nə qədər effektiv olduğuna dair anlayışımızı təkmilləşdirməyə çalışırıq. Çöküntü tez-tez qida maddələrini, metalları və digər çirkləndiriciləri daşısa da, çöküntü özü də bir çox ətraf mühit sistemlərində çirkləndiricidir. Bu problemdə biz yağış suyunun idarə olunması sistemi tərəfindən çıxarılan çöküntü hissəsini θ kimi təqdim edirik. Şəkil 1 əvvəlki ehtimal paylanmasının inkişafı ilə başlayan Bayes çərçivəsində bu anlayışın təkamülünü təqdim edir. θ üçün əvvəlcədən ehtimal paylanması yüzlərlə tədqiqatı sənədləşdirən nəşr edilmiş verilənlər bazasında çirkləndiricilərin xaric olma dərəcəsi dəyərlərinə əsaslanır və aşağıdakı kimi ifadə edilir. Şəkil 1 ilk olaraq tarixi dəyərlərin histoqramı kimi (Şəkil 1a) və sonra çirkləndiricinin xaric olma sürətini təxmin edən kəsikli xətt kimi əvvəlki ehtimal paylanması (Şəkil 1b). Yeni tədqiqat sahəsindən hipotetik çöküntü çıxarma dərəcələri sonra ehtimal funksiyası vasitəsilə təqdim edilir (bərk xətt Şəkil 1 c) və nəhayət posterior ehtimal paylanması Bayes teoremi ilə hesablanır (və nöqtəli xətt ilə təmsil olunur). Şəkil 1d).

    Riyazi olaraq, Şəkil 1 əsas histoqramı beta Be(θ|α, β) ehtimal paylanması kimi orta α/(α + β) və dispersiya αβ/(α + β) 2 (α + β + 1), α və β parametrləri ilə təxmin edir müvafiq olaraq 11 və 4.6. Ehtimal binomial ehtimal paylanmasından istifadə edərək yeni tədqiqat sahəsindən hipotetik çöküntülərin çıxarılması sürətlərinin modelləşdirilməsi ilə əldə edilir Bi(x|n, θ) orta ilə nθ və dispersiya nθ(1 − θ), harada x, ümumiyyətlə, müsbət nəticələrin sayını ifadə edir n sınaqlar, θ isə hər sınaqda müsbət nəticənin olma ehtimalıdır. Bu misalda, x yeni tədqiqat sahəsində fırtına sularının idarə edilməsi infrastrukturu tərəfindən çıxarılan çirkləndiricilərin ümumi kütləsini təmsil edir və n sahəyə daxil olan çirkləndiricilərin ümumi kütləsini əks etdirir. Naməlum parametr θ funksiyası kimi ifadə edildikdə, ehtimal [Eq. (2)] beta Be(θ|).x + 1, nx + 1) parametrlərlə ehtimal paylanması nx müvafiq olaraq 8 və 4-ə təyin edin. Bayes teoremindən istifadə edərək, biz əvvəlki paylanmanı və θ üçün posterior paylanma əldə etmək ehtimalını tənliklərdə aşağıdakı kimi birləşdiririk. (2) və (3),

    harada Eq. (3) α′ = α + ilə beta Be(α′, β′) ehtimal paylanmasıdır. x və β′ = β + (nx). Qeyd edək ki, tənliyin sağ tərəfi. (2) Bayes teoreminə əsaslanaraq gözləyə biləcəyimiz məxrəci daxil etmir [Eq. (1)], çünki o, sadəcə olaraq mütənasiblik sabitidir və posterior paylanmanın hesablanmasına təsir etmir. Başqa cür desək, bir dəfə ki, tənliyi tanıyırıq. (3) beta paylanmasıdır, α′ və β′ dəyərləri θ üçün posterior paylanmanı formalaşdırmaq üçün lazım olan yeganə məlumatdır.

    Suyun keyfiyyət şəraitinin proqnozlaşdırılması

    Suyun keyfiyyəti tez-tez bir və ya bir neçə in situ çirkləndiricinin (qida, bakteriya və üzvi birləşmələr kimi) konsentrasiyası və xüsusi su obyektinin onun təyinatı üzrə istifadəsi (məsələn, içməli su, istirahət və ya kənd təsərrüfatında istifadə kimi) ilə ölçülür. ) ölçülmüş çirkləndirici konsentrasiyaların suyun keyfiyyət standartı rəqəmsal hədlərini keçib-keçməməsindən asılıdır. Bu çirkləndiriciləri çox vaxt birbaşa ölçmək mümkün olmadığından, elm adamları adətən narahatlıq doğuran çirkləndirici üçün potensial surroqat rolunu oynayan göstəriciləri ölçürlər. Göstərici konsentrasiyası ilə onun təmsil etdiyi çirkləndiricinin konsentrasiyası arasındakı əlaqənin gücü çirkləndiricinin növündən asılı olaraq geniş şəkildə dəyişir. Məsələn, ABŞ-da istirahət və qabıqlı sularda suyun keyfiyyəti nəcis koliformları və nəcis koliformları kimi patogen olmayan nəcis göstərici bakteriyalarının (FIB) konsentrasiyasına əsaslanır. Escherichia coli. Bu bakteriyalar nəcislə çirklənmənin və su ilə daşınan zərərli patogenlərin potensial mövcudluğunun mühafizəkar göstəricisi kimi istifadə olunur ki, bu da insan və ətraf mühitin sağlamlığı ilə birbaşa əlaqəli olsa da, ölçmək çox daha çətin və bahalıdır. Xüsusi çirkləndirici və əlaqəli göstəricidən asılı olmayaraq, aydındır ki, təkcə çirkləndirici-indikator əlaqəsi deyil, həm də nümunə götürmənin məkan və zaman tezliyi və digər amillər birlikdə ətraf mühitin vəziyyəti ilə bağlı proqnozlarda qeyri-müəyyənliyə və dəyişkənliyə kömək edə bilər. Burada misal olaraq, qabıqlı balıqların yığıldığı ərazidə nəcis koliform konsentrasiyasının ölçülməsindən (100 ml başına orqanizmlərdə məlumat verilir) istifadə edərək suyun keyfiyyət şəraitinin qiymətləndirilməsi üçün Bayes yanaşmasını təqdim edirik.

    Bir çox digər çirkləndiricilər kimi, FIB konsentrasiyalarının da adətən log-konsentrasiya ortası ilə lognormal LN (μ, σ) ehtimal paylanmasına əməl etdiyi güman edilirμ) və log-konsentrasiya standart sapması (σ). Bu ümumi ehtimal modeli FIB dispersiya nümunələrində təbii məkan və zaman dəyişkənliyini qəbul etsə də, o (digər sadə ehtimal modelləri kimi) tez-tez FIB konsentrasiyasının ölçülməsindən yaranan daxili mənbələr də daxil olmaqla digər, daha incə dəyişkənlik mənbələrini və FIB konsentrasiyalarının necə olduğunu açıq şəkildə qəbul etmir. hesablanmışdır, bunların hamısı təkcə FIB konsentrasiyası proqnozlarında qeyri-müəyyənliyə deyil, həm də ehtimal paylanma parametrlərində (yəni μ və σ) qeyri-müəyyənliyə səbəb ola bilər. Bayesçi çərçivədə biz bu qeyri-müəyyənlikləri ilk növbədə μ və σ populyasiya parametrləri üzərində əvvəlcədən ehtimal paylanmasını yerləşdirməklə (bu, onların potensial dəyərlərinə dair aprior inancları nəzərə ala bilər), sonra μ və σ üçün ehtimal funksiyasını inkişaf etdirərək açıq şəkildə etiraf edə bilərik. empirik sübut (bu halda, suyun keyfiyyət nümunələrindən istifadə etməklə) və nəhayət, hər ikisi üçün birgə posterior ehtimal bölgüsü əldə etmək. Bu prosedurun nəticələri təqdim olunur Şəkil 2Şimali Karolinanın şərqindəki nümunə sahəsi üçün nəcis koliformunun log-konsentrasiya ortası (μ) və standart kənarlaşma (σ) üçün birgə arxa ehtimal sıxlığının hamarlaşdırılmış kontur xəttini ehtiva edir.

    Ətraf mühitin idarə edilməsi ilə bağlı qərarların qəbul edilməsi

    Bəlkə də suyun keyfiyyəti ilə bağlı proqnozlarda qeyri-müəyyənliyi əks etdirmək qədər əhəmiyyətli olan bu qeyri-müəyyənliyin suyun keyfiyyətinə əsaslanan idarəetmə qərarlarına necə yayıla biləcəyini anlamaqdır. İdarəetmə kontekstində proqnozlaşdırılan şərtlər təqdim olunur Şəkil 2 gələcək nümunələrin həm müvafiq standartların pozulmasını, həm də insan və ətraf mühitin sağlamlığı üçün potensial təhlükəni göstərə biləcəyi ehtimalına dair inancları istiqamətləndirmək üçün istifadə edilə bilər. Məsələn, qabıqlı balıq yığan sular üçün suyun keyfiyyət standartları göstərir ki, ən azı 30 su keyfiyyət nümunəsinin nəcis koliformunun orta həndəsi konsentrasiyası, orta həndəsi və ya 90 faizi 14, 14 və 43-dən çox olduqda, qabıqlı balıqları yığmaq təhlükəlidir. müvafiq olaraq 100 ml başına orqanizmlər). Suyun keyfiyyət nümunəsi konsentrasiyaları bu rəqəmsal hədləri aşdıqda, müvafiq qabıqlı balıq yığımı sahəsi bağlanır və tez-tez ictimaiyyətə potensial sağlamlıq riskləri barədə xəbərdarlıq edən işarələr yerləşdirilir (şək. 3).

    Nəcis koliformunun konsentrasiyası ilə bağlı proqnozlardakı qeyri-müəyyənliyi daha yaxşı başa düşmək üçün bu rəqəmsal hədlər nəcis koliformunun log-konsentrasiyası orta (μ) və log-konsentrasiya standart sapmasının (σ) uyğun maksimum icazə verilən birləşmələrinə çevrilir. Bu maksimum icazə verilən μ, σ cütləri üçölçülü birləşməyə (μ, σ) arxa ehtimal fəzasına proyeksiya edildikdə (nöqtəli xətt) şək. 4), suyun keyfiyyəti şərtlərinin verilmiş standartları pozaraq suyun keyfiyyət nümunəsi vermə ehtimalının nə dərəcədə olduğunu göstərin. Başqa cür desək, biz nöqtəli xətti təsəvvür edə bilərik şək. 4 Üçölçülü oynaq ehtimal sahəsinin bir hissəsini rəqəmin sol altındakı "dilimləmə" və bu hissənin nisbi həcmi, bəzən uyğunluq inamı adlanır, ona sahib ola biləcəyi güvən dərəcəsi kimi düşünülə bilər. su obyekti suyun keyfiyyət standartlarına uyğun olacaq. Bu nümunədə uyğunluq inamı təxminən 0,03 (və ya 3%) təşkil edir.

    Bayesian əsaslı uyğunluq inamını daha çox yayılmış qeyri-Bayes strategiyaları ilə müqayisə etmək üçün nöqtə cizgi şəklində verilmişdir. şək. 4, μ və σ-nin ən çox ehtimal olunan birləşməsinin potensial nöqtə təxminini təmsil edir. Suyun keyfiyyəti şərtlərinin deterministik proqnozu, ehtimal ki, yalnız bu nöqtə təxminlərinə əsaslanacaq, bu yanaşma gələcək nəcis koliform konsentrasiyalarında potensial dəyişkənliyin böyük hissəsini açıq şəkildə nəzərə almayaraq, uyğunluq inamına əsaslanmayan, həddindən artıq sadələşdirilmiş idarəetmə qiymətləndirməsinə gətirib çıxara bilər. lakin su obyektinin standartı pozub-pozmadığına dair sadə bəyanatda. Qiymətləndirmə nəticələrinin təqdim edildiyi halda şək. 4, deterministik yanaşma bizi gələcək şərtlərin verilmiş standartı pozacağına inanmağa vadar edərdi. Stansiya üzrə monitorinqin qiymətləndirilməsi nəticələrinin xülasəsi təqdim olunur əncir. 24, digər qonşu su keyfiyyətinin monitorinq stansiyaları ilə birlikdə təqdim olunur masa. Bu nəticələr ətraf mühit şəraitinin proqnozlaşdırılmasına və idarəetmə qərarlarına rəhbərlik etməyə Bayes yanaşmasının riskin kəmiyyətinin müəyyən edilməsinə və insan və ətraf mühitin sağlamlığının qorunmasına necə nisbətən möhkəm yanaşma təmin etdiyini nümayiş etdirir.


    Daha Asan Yol

    Ehtiyacınız olmayanda niyə riyaziyyatla məşğul olursunuz? - Yi Şuen Lim

    Bayes teoreminin həlli üçün potensial alternativə nəzər salaq, bu metodu başa düşdüyünüz zaman problemin bütün tərəflərini başa düşməyə imkan verəcəkdir. Flatiron-da mənə verilən problemdən istifadə edəcəyik, çünki mən riyaziyyat müəllimi deyiləm və heç kim mənə riyaziyyat problemlərini həll etmək üçün pul vermir.

    Tomas yeni bir bala almaq istəyir.

    O, yeni balasını ya pet mağazasından, ya da funtdan almağı seçə bilər. Onun pet mağazasına getmə ehtimalı 0,2-dir.

    O, böyük, orta və ya kiçik bir bala almağı seçə bilər.

    Əgər o, pet mağazasına gedirsə, onun kiçik bir bala alma ehtimalı 0,6-dır. Onun orta bala alma ehtimalı 0,3, böyük bala alma ehtimalı isə 0,1-dir.

    Əgər o, funt-sterlinqə gedirsə, onun kiçik bir bala alma ehtimalı 0,1-dir. Onun orta bala alma ehtimalı 0,35, böyük bala alma ehtimalı isə 0,55-dir.

    1. Tomasın kiçik bir bala alma ehtimalı nədir?

    2. Böyük bir bala aldığını nəzərə alsaq, Tomasın ev heyvanları mağazasına getmə ehtimalı nədir?

    3. Tomasın kiçik bir bala aldığını nəzərə alsaq, onun pet mağazasına getməsi ehtimalı daha çoxdur, yoxsa funta?

    Beləliklə, bu problem üçün düsturları döymək üçün alternativ bir üsuldan istifadə edəcəyik. Ağaclar tikməyə gedirik. Ağaclar əladır, problemi parçalamağa kömək edir və onu aydın və asan başa düşülən formata çevirir. Beləliklə, çəkməyə başlayaq! Etəcəyimiz ilk şey ağacın əsas budaqlarını çəkməkdir.

    Partlama. Biz bu söz problemini effektiv şəkildə struktur komponentlərinə böldük və onu asan başa düşülən formatda tərtib etdik. Biz Tomas və onun Heyvan Dükanı və ya Sığınacağa getmək qərarı ilə başlayırıq, sonra ya Heyvan Dükanı, ya da Sığınacaqda bir dəfə daha kiçik, Orta və Böyük İtlərə bölünürük. Növbəti addım ehtimallarımızı daxil etməkdir.

    Gör nə etdim? İndi bu problemdə bizə verilən ehtimalları götürüb ağacımıza qarşı qoyduq. Bilirik ki, Tomasın Heyvan Dükanına getmə ehtimalı 20%, oraya çatdıqda isə 60% Kiçik İt alma ehtimalı, 30% Orta İt almaq və 10% ehtimalı var. Böyük it almaq. The same also applies for the 80% probability of him going to the Shelter and the associated probabilities for Small, Medium and Large Dogs. Note also that each of these probabilities at each junction totals up to 100%, because we can’t have more than a 100% probability, and having less than a total 100% probability implies there’s another choice. This is useful to know in the event you are given incomplete information on a word problem.

    Now, let’s look at the first question.

    What is the probability of Thomas getting a small puppy?

    Well to solve that, we need to determine all probabilities in which Thomas is going to get a small puppy, either at the Pet Store or at the Shelter. We simply need to multiply our probabilities together, then add them up, in the following fashion:

    By following the path of the red arrows, we traced the path of Thomas first going to the Pet Store or the Shelter, and then him getting a Small Dog at either. To find the probability of all possible Small Dog purchases we take the probability of Shelter or Pet Store, then multiplying it with the corresponding probability of buying a Small Dog. Then we add those together to find the answer to the probability of Thomas buying a Small Dog! By simply following the branches in the tree, we are able to track the necessary probabilities and combine them to find all cases of Small Dog.

    Let’s get ahead of ourselves now and finish calculating all the probabilities:

    Əla! Now we have a proper framework of ready answers prepared to answer any questions on Thomas’ choices. What if we wanted to know the probability that Thomas will get a Large Dog? Well, let’s refer back to our tree. Pet Store Large Dog has a probability of .02, Shelter Large Dog has a probability of .44. We add those together, and the probability of Large Dog is .46!

    Now let’s move on to the second question.

    Given that he got a large puppy, what is the probability that Thomas went to the pet store?

    Well, this is truly more of a Bayesian question. If we were to write this formula out, it would look like this:

    Thanks to our tree, we don’t have to break our heads trying to figure out what probabilities need to be constructed for P(Large). Let’s refer back to our tree to find the components needed.

    Thus, our formula looks like this:

    Which gives us .04347!

    Now, on to the last question!

    Given that Thomas got a small puppy, is it more likely that he went to the pet store or to the pound?

    This one is a little bit trickier. Given Small Dog, which is higher, P(Pet Store|Small Dog) or P(Shelter | Small Dog)? Well in this case, we’ll have to repeat the formula, but twice, and determine which one is higher.

    To simplify things, I’ll give you the variables you need:

    For the P(Pet Store | Small Dog):
    P(Small Dog| Pet Store) = .60
    P(Pet Store) = .20
    P(Small Dog) = .20

    For the P(Shelter | Small Dog):
    P(Small Dog| Shelter) = .10
    P(Shelter) = .80
    P(Small Dog) = .20

    Now plug those into Bayes’ Theorem and see what numbers we get?

    P(Pet Store | Small Dog) = .60
    P(Shelter | Small Dog) = .40

    Since P(Pet Store | Small Dog) is larger than P(Shelter | Small Dog), given that Thomas got himself a Small Dog, it is more likely that Thomas went to a Pet Store to get his dog!


    Bayes theorem for mutations - Biology

    Conventional statistics rely on a Ehtimal Model of events, such as the ehtimal (p) that one will draw an Ace from a deck of cards (səh = 4/52) or roll Boxcars with two dice (səh = 1/36). The joint probability of drawing an Ace AND rolling boxcars in then simply p' = (1/13)(1/36) = 0.00214. This can be extended to biological situations, for example that the next hospital patient you see will be male and (or) have hemophilia, based on data that about half the population is male, and that a certain fraction of the population has hemophilia. The probabilistic model is already complicated by the recognition that hemophilia is typically (but not always) a male trait, and further that in a hospital ward, there will be a higher proportion of hemophiliacs than in the outside population. Note that the probabilistic approach will be different when applied to patients who are male and (or) color-blind. A probabilistic approach may fail under these circumstances.

    Alternativ olaraq, Bayes Model is concerned with the likelihood of events, which explicitly considers the co-occurrence of events, especially where those events are yox müstəqil. This is phrased as, What is the probability of event A, given that event B also occurs?

    Bayes’ Theorem is stated mathematically as

    where A & B are events, and p(B) ≠ 0. An event is something that can be true or false, for example, that a person is color blind, or male.

    p(A| B) and p( B| A) are şərti ehtimallar, the likelihood of event A occurring, given that B is true, and v.v. Read p(A|B) as the probability of A given B. p(A) and p( B) are the marginal ehtimallar of observing AB, independently of each other: for example, the proportion of color blind people, or males.

    Among other uses, Bayes’ Theorem provides an improved method of assessing the likelihood of two non-independent events occurring simultaneously.

    Suppose a urine test used to detect the presence of a particular banned drug is 99.9% həssas99.0% spesifik. That is, the test will provide 99.9% true positive results for drug users, and 99% true negative results for non-users. Suppose further than 0.5% of the population tested are drug users (insident). We ask: What is the probability that an individual who tests positive is a user? Bayes’ Theorem phrases this as, what is p( User| +) ? Let p( A) = p( User) and p( B) = p( +), sonra

    Here, p(+| İstifadəçi) estimates sensitivity , that 0.999 of Users tested will be detected, and [1 - p(+|Yox- User)] incorporates spesifiklik , that only (1 – 0.99 ) = 0.01 of Non-Users will be reported (incorrectly) as Users.

    Then, p( +) estimates the total sayı müsbət tests, including true eləcə də yalan positives. These two components are

    Keeping the same number formats as defined above

    That is, even if an individual tests positive, it is twice as likely as not (1 – 33.42% = 66.58%) that s/he is yox a User. Niyə? Even though the test appears to be highly “dəqiq” (99.9% sensitivity & 99% specificity), the number of non-Users is very large compared to the number of Users. Under such conditions, the count of yalan positives exceeds the count of true positives. For example, if 1,000 individuals are tested, we expect 995 non-Users and 5 Users. Among the 995 non-Users, we expect 0.01 x 995 ≈ 10 false positives. Among the 5 Users, we expect 0.99 x 5 = 5 true positives. So, out of 15 positive tests, only 5 (33%) are genuine. The test cannot be used to screen the general population for Users.

    What are the effects of improving “accuracy” of the test? Əgər həssaslıq were increased to 100% , and spesifiklik remained at 99% , p(İstifadəçi| +) = 33.44%, a minuscule improvement. Alternatively, if sensitivity remains at 99.9% and specificity is increased to 99.5% , then p(İstifadəçi| +) = 50.10%, and half the positive tests are reliable. The test remains unreliable.

    What if test circumstances change? If sensitivity and specificity remain unchanged at 0.999 and 0.99 respectively, but in the population of interest the incidence of users increases to 0.1, p(İstifadəçi|+) = 0.91736, and the test is reasonably reliable (but not at a 95% criterion).

    HOMEWORK : Write an Excel spreadsheet program to calculate p(İstifadəçi| +) for various values of Sensitivity, Specificity, and Incidence. Us the base values above as a starting point. Under what circumstances is the test most “useful”? izah edin.


    Count Bio

    The Bayes's theorem helps us to compute the conditional probability for events. It is much more than a mere problem solving technique. The theorem paved the way for Bayesian Statistics , which is philosophically different from the frequentist method on which this whole tutorial is based. More on this in the next section. Though it looks complicated when it is stated formally, Bayes theorem (also called Bayes rule) is very easy to use for problem solving.

    In this section, we will first derive and state the Baye's theorem. Next, an example problem will be solved, which will clearly demonstrate the theorem and lead to the formal definition.

    Recall the multiplication rule of the conditional probability we learnt in the previous section. For two dependent events A and B in the sample space S, the multiplication rule states that,

    Instead of a single event A, consider a set of n mutually exclusive events (small< A_1, A_2, A_3, . A_k >) in the sample space S. Let B be any event in the sample space S.

    We can write, for any event (small< A_k >) in the sample space, the conditional probability of event (small) given the event B as,

    Since the contribution to the event B can come from the mutually exclusice events (small) to (small), we can write,

    Also, we can write the numerator ( small < P(A_k cap B) >) as,

    With this, the conditional probability ( small < P(A_k|B) >) becomes,

    The above formula is the statement of Bayes theorem . We can write it in a summation notation as,

    In order to understand the above theorem, we will solve an example problem and revisit the theorem after that:

    $ Box1 has 3 tablets of M1 and 4 tablets of M2. $

    $ Box2 contains 5 tablets of M1 and 3 tablets of M2. $

    $ Box3 contains 6 tablets of M1 and 3 tablets of M2. During a clinical trial, the probabilities of selecting these boxes are not same, but kept as, ( small< P(Box1) = frac<1> <3>>), (small <6>>) and (small <2>>)

    The experiment consists of drawing a box at random with the above probabilities and from the selected box, pick out a tablet at random.

    What is the probability P(M1) of picking up tablet M1 in such a draw?.

    To select M1, we must pick a box at random and then from the box we must randomly pick a tablet. Thus the probability of selecting M1 is deciced by the union of three mutually exclusive events (small ). Buna görə də,

    = P(M1|Box1) P(Box1) + P(M1|Box2) P(Box2) + P(M1|Box3) P(Box3)>) ( small<

    dfrac<6> <9> imes dfrac<1> <2>> ) (small<

    Suppose we know that the medicine M1 has been picked up, but we do not know from which box it came from. We wish to compute the conditional probability that the selected medicine M1 would have come from the box1 . We denote this probability by the symbol P(Box1|M1). We can use bayes theorem to get this probability.

    From the definition of conditional probability, we can write

    Since M1 could have come from any one of the three boxes, selection of M1 has three mutually exclusive possibilities, namely from Box1 or Box2 or box3. We then write

    With this, the expression for the conditional probability ( small) becomes,

    Subsituting the values, we get the probability that Medicine M1 would have come from box1 as,

    0.246 Similarly, we get the conditional probability that the medicine M1 would have come from Box2: (small< P(Box2|M1) = dfrac< P(M1|Box2) P(Box2)> >) (

    0.179 Next,we compute the conditional probability that the medicine M1 would have come from Box3: (small< P(Box3|M1) = dfrac< P(M1|Box3) P(Box3)> >) (

    The solutions to the set of problems shown above have to be carefully analysed.

    Note that the original probabilities of selecting the three boxes were given in the beginning as, (small <3>= 0.333>,

    small <2>= 0.5> ). However, once it was known that the medicine that was pulled out of the box was M1, these probabilities changed to (small<>

    This can be intuitively understood as follows: Before selecting a medicine, the three boxes had certain probability of being selected.The information that the medicine M1 has been chosen from the selected box has altered these probability of selection of Boxes, since different boxes have different fractions of M1. Once the medicine M1 has been selected, the probability that it would have come from Box3 is more than the probability that it would have come from Box1 or Box2, since the fraction of M1 in Box3 is more than that in Box1 or Box2.

    Thus, since (fraction of M 1 in Box1) < (f raction of M 1 in Box2) < (f raction of M 1 in Box3), we have, (small)

    The original probabilities (small), (small) and (small) are called the prior probabilities.

    The conditional probabilities (small), (small) and (small) are called the posterior probabilities.

    Thus by employing Baye's theorem,the prior probabilities have been modifed to posterior porbabilities using the available information (data) on the fractions (small), (small) and (small).


    İstinadlar

    Gelman, A., Carlin, J.B., Stern, H.S. & Rubin, D.B. Bayesian Data Analysis (Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florida, USA, 1995).

    MacKay, D.J.C. Information Theory, Inference, and Learning Algorithms (Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2003).

    Jaynes, E.T. Probability Theory: The Logic of Science (Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 2003).

    Hacking, I. The Emergence of Probability (Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1975).


    Videoya baxın: 48. Olasılık ve İstatistik - Bayes Teoremi Konu Anlatımı + Örnek Soru (Yanvar 2022).